Ich hatte auch mal Pünktchen auf Basilikum in der Wohnung.
Die Blätter waren allerdings angefressen und eines Tages fand ich eine fette(! von meinem Basilikum!) Raupe unter dem Teller auf dem der Topf stand....

Vermute mal, du hast Parasiten.
Sprühe einfach mit wässriger Niemlösung. Die ist für Menschen nicht giftig und doch sehr wirksam (öfters anwenden! die Viecher fallen nicht gleich tot um, werden aber immer unaktiver...).

Gruß
Andi